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Das hinreichende Kriterium für Extremstellen

Nachdem die Nullstellen der ersten Ableitung herausgefunden wurden (siehe Notwendiges Kriterium), lassen sich diese mit dem hinreichenden Kriterium als Extremstellen der Funktion bestätigen oder ausschließen. Denn es ist nicht alles Gold, was glänzt oder in unserem Fall 0 ist. ;-) Das hinreichende Kriterium funktioniert wie folgt: Man bildet zunächst die zweite Ableitung der zu untersuchenden Funktion. In diese Funktion setzt man dann nacheinander als Argument die gefundenen Nullstellen ein und prüft mit Spannung das Ergebnis der zweiten Ableitung für diese Werte! Liegt das Ergebnis unter 0, so handelt es sich bei der vermuteten Extremstelle um eine Hochstelle. Liegt der Wert über 0, so wurde eine Tiefstelle gefunden. Ist der Wert allerdings gleich 0, kann man noch keine Aussage treffen und muss mit Hilfe weiterer Ableitungen Untersuchungen anstellen. Beispiele dafür sind etwa die Funktionen x^4 oder x^6. Hier muss so lange weiter abgeleitet werden, bis eine Ableitung gerader Ordnung (4., 6., ... Ableitung) einen Wert ungleich 0 ergibt.

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